Question

若a，b，c為實數，且a+b+c=0，abc=2，那么|a|+|b|+|c|的最小值可達到

 

．

Answer 1

分析：先根據已知條件確定a、b、c的符號，利用完全平方式求出（|a|+|b|+|c|）²=4a²，再構造出以b、c為根的一元二次方程，由根的判別式即可求出a的取值范圍，再由（|a|+|b|+|c|）²=4a²即可求出答案．

解答：解：由題意得a=-（b+c），
∵abc=2＞0，
∴假設a＞0，則b＜0，c＜0，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，
=a²+b²+c²-2ab-2ac+2bc+4ab+4ac，
=|a|²+|b|²+|c|²+2|a||b|+2|a||c|+2|b||c|+4ab+4ac，
=（|a|+|b|+|c|）²+4ab+4ac，
∴（|a|+|b|+|c|）²=0-4ab-4ab=-4a（b+c）=4a²，
∵b+c=-a，bc=

2

a

，所以可以將b、c看成是x²+ax+

2

a

=0這個方程的兩個根，
∵△≥0，
∴a²-

8

a

≥0，
∴a³-8≥0，即a³≥8，a≥2，
∴（|a|+|b|+|c|）²≥16，
∴|a|+|b|+|c|≥4，
∴|a|+|b|+|c|的最小值為4．
故答案為：4．

點評：本題考查的是絕對值的性質及一元二次方程根與系數的關系、根的判別式，綜合性較強，難度較大．