Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射線CB上一點（點D不與點B重合），以AD為斜邊作等腰直角三角形ADE（點E和點C在AB的同側(cè)），連接CE．

（1）如圖①，當(dāng)點D與點C重合時，直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；

（2）如圖②，當(dāng)點D與點C不重合時，（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

（3）當(dāng)∠EAC＝15°時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)點D與點C重合時，CE∥AB，理由見解析；（2）當(dāng)點D與點C不重合時，（1）的結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）當(dāng)∠EAC＝15°時，的值為或．

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定定理解答；
（2）在AF上截取AF=CD，連接EF，證明△EAF≌△EDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EF=EC，∠AEF=∠DEC，根據(jù)平行線的判定定理證明；
（3）分圖②、圖③兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)計算，得到答案．

（1）當(dāng)點D與點C重合時，CE∥AB，

理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB＝45°，

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴∠ADE＝45°，

∴∠CAB＝∠ADE，

∴CE∥AB；

（2）當(dāng)點D與點C不重合時，（1）的結(jié)論仍然成立，

理由如下：在AC上截取AF＝CD，連接EF，

∵∠AED＝∠ACB＝90°，

∴∠EAF＝∠EDC，

在△EAF和△EDC中，

，

∴△EAF≌△EDC（SAS），

∴EF＝EC，∠AEF＝∠DEC，

∵∠AED＝90°，

∴∠FEC＝90°，

∴∠ECA＝45°，

∴∠ECA＝∠CAB，

∴CE∥AB；

（3）如圖②，∠EAC＝15°，

∴∠CAD＝30°，

∴AD＝2CD，，

∴，

∵△CEF為等腰直角三角形，

∴，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴，

∴，

如圖③，∠EAC＝15°，

由（2）得，∠EDC＝∠EAC＝15°，

∴∠ADC＝30°，

∴，

延長AC至G，使AG＝CD，

∴CG＝AG﹣AC＝DC﹣AC＝AC﹣AC，

在△EAG和△EDC中，

，

∴△EAG≌△EDC（SAS），

∴EG＝EC，∠AEG＝∠DEC，

∴∠CEG＝90°，

∴△CEG為等腰直角三角形，

∴，

∴，

綜上所述，當(dāng)∠EAC＝15°時， 的值為或．