Question

（6分）如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內接等邊三角形ABC.黃皓、李明兩位同學的作法分別是：

黃皓：1. 作OD的垂直平分線，交⊙O于B，C兩點，

2. 連結AB，AC，△ABC即為所求的三角形.

李明：1. 以D為圓心，OD長為半徑作圓弧，交⊙O于B，C兩點，

2. 連結AB，BC，CA，△ABC即為所求的三角形.

已知兩位同學的作法均正確，請選擇其中一種作法補全圖形，并證明△ABC是等邊三角形.

 

Answer 1

【答案】

△ABC是等邊三角形，

【解析】

試題分析：由兩同學的做法不同，一個根據(jù)三角形性質求得，另一個根據(jù)兩圓的知識求得，但得到的三角形都為等邊三角形。解：我選擇黃皓的作法.

如圖畫圖正確.        2分；

證明：連結OB、OC.

∵AD為⊙O的直徑，BC是半徑OD的垂直平分線，

∴AB=AC，BD=CD,

，    3分；

∴.          4分；

在Rt△OEC中，

∴ cos，

∴，    5分；

∴.

∴.

∴△ABC是等邊三角形.     6分.

我選擇李明的作法.

如圖畫圖正確.        2分；

證明：連結DB、DC.

由作圖可知：

DB=DO=DC，

在⊙O中，

∴OB=OD=OC，

∴△OBD和△OCD都是等邊三角形，  3分；

∴ ，   4分；

∵，，

∴，

，      5分；

∴△ABC是等邊三角形.       6分.

考點：等邊三角形的定義，及做法。

點評：熟知等邊三角形的定義及做法，線段的垂直平分線上的點到兩端點距離相等，兩圓相交圓心距等于一圓半徑時，兩圓心與兩圓的交點構成的四邊形是菱形。本題由一定的難度，但不大，屬于中檔題。