Question

如圖，在等邊△ABC中，AB=2，點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為E，過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為F，過點(diǎn)F作FQ⊥AB，垂足為Q，求當(dāng)BP的長等于多少時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合？

Answer 1

分析：設(shè)出PB的長，根據(jù)含有30度的直角三角形中，30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可表示出AQ的長，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，BP+AQ=2，即可得到一個(gè)方程，從而求解．

解答：解：設(shè)BP=x，在直角三角形PBE中，∠BPE=30°
∴BE=

1

2

x，
則EC=2-

1

2

x．
在直角△EFC中，∠FEC=30°，
∴FC=

1

2

EC=1-

1

4

x．
∴AF=2-FC=2-（1-

1

4

x）=1+

1

4

x．
同理：AQ=

1

2

AF=

1

2

+

1

8

x
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，
BP+AQ=2
即x+（

1

2

+

1

8

x）=2
解得：x=

4

3

故當(dāng)BP=

4

3

時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合．

點(diǎn)評：本題主要考查了含有30度的直角三角形中，30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半，設(shè)出BP，進(jìn)而表示出AQ的長是解題的關(guān)鍵．