【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(a,0),B(0,b),C(-a,0),且+b2-4b+4=0.
(1)求證:∠ABC=90°;
(2)∠ABO的平分線交x軸于點(diǎn)D,求D點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)如圖,在線段AB上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N滿足∠MON=45°,求證:BM2+AN2=MN2.
【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值,根據(jù)直角三角形的判定定理證明;
(2)過D作DE⊥AB于E,由于BD是∠ABO的角平分線,根據(jù)角平分線的性質(zhì)知DO=DE,即可證得OD=DE,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可;
(3)把△OBM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,則旋轉(zhuǎn)后B點(diǎn)與A點(diǎn)重合,點(diǎn)M對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,連結(jié)NE,由于∠MON=45°,那么∠EON=∠MON=45°,即可證得△MON≌△EON,MN=NE;同理可通過證△MON≌△EON,來(lái)得到BM=AN,∠OAE=∠OBM=45°,因此在Rt△NAE中,根據(jù)勾股定理即可證明.
(1)證明:由得
,
∴
∴
∴A、B、C的坐標(biāo)是A(2,0),B(0,2),C(-2,0)
∴AB=,BC=,AC=4
∴AC2=AB2+BC2
∴∠ABC=90°
(2)過點(diǎn)D作DE⊥AB于E,
∵BD平分∠ABO,
∴OD=DE,
設(shè)OD=x,
∵ 解得,,
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)是
(3)證明:把△OBM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,則旋轉(zhuǎn)后B點(diǎn)與A點(diǎn)重合,點(diǎn)M對(duì)應(yīng)點(diǎn)E(如圖),連結(jié)NE
∴∠NAE=90°
又∠MON=45°,
∴∠NOE=45°
在△MON和△EON中,
∴△OMN≌△OEN(SAS)
∴MN=NE
在△MOB和△EOA中,
∴△MOB≌△EOA,
BM=AE
∴在Rt△NAE中
NE2=AN2+AE2
∴MN2=AN2+BM2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+5與x軸交于點(diǎn)A,與拋物線y=ax2+bx交于B,C兩點(diǎn),且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,7),點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5.
(1)直接寫出k的值和點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)將此拋物線沿對(duì)稱軸向下平移n個(gè)單位,當(dāng)拋物線與直線AB只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),求n的值;
(3)在拋物線上有點(diǎn)P,滿足直線AB,AP關(guān)于x軸對(duì)稱,求點(diǎn)P的坐標(biāo)..
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有A、B兩種型號(hào)臺(tái)燈,若購(gòu)買2臺(tái)A型臺(tái)燈和6臺(tái)B型臺(tái)燈共需610元.若購(gòu)買6臺(tái)A型臺(tái)燈和2臺(tái)B型臺(tái)燈共需470元.
(1)求A、B兩種型號(hào)臺(tái)燈每臺(tái)分別多少元?
(2)采購(gòu)員小紅想采購(gòu)A、B兩種型號(hào)臺(tái)燈共30臺(tái),且總費(fèi)用不超過2200元,則最多能采購(gòu)B型臺(tái)燈多少臺(tái)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某段河流的兩岸是平行的,數(shù)學(xué)興趣小組在老師帶領(lǐng)下不用涉水過河就測(cè)得河的寬度,他們是這樣做的:
①在河流的一條岸邊B點(diǎn),選對(duì)岸正對(duì)的一棵樹A;
②沿河岸直走20m有一樹C,繼續(xù)前行20m到達(dá)D處;
③從D處沿河岸垂直的方向行走,當(dāng)?shù)竭_(dá)A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走;
④測(cè)得DE的長(zhǎng)為5米.
求:(1)河的寬度是多少米?
(2)請(qǐng)你證明他們做法的正確性.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖.過點(diǎn)A1(1,0)作x軸的垂線,交直線y=2x于點(diǎn)B1;點(diǎn)A2與點(diǎn)O關(guān)于直線A1B1對(duì)稱,過點(diǎn)A2作x軸的垂線,交直線y=2x于點(diǎn)B2;點(diǎn)A3與點(diǎn)O關(guān)于直線A2B2對(duì)稱.過點(diǎn)A3作x軸的垂線,交直線y=2x于點(diǎn)B3;…按此規(guī)律作下去.則點(diǎn)A3的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△AOB中,∠ABO=90°,OB=4,AB=8,且反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象分別交OA、AB于點(diǎn)C和點(diǎn)D,連結(jié)OD,若S△BOD=4,請(qǐng)回答下列問題:
(1)求反比例函數(shù)解析式;
(2)求C點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,已知直線l1、l2,直線l3和直線l1、l2交于點(diǎn)C和D,在直線l3上有動(dòng)點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)C、D不重合),點(diǎn)A在直線l1上,點(diǎn)B在直線l2上.
(1)如果點(diǎn)P在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí),且滿足∠1+∠3=∠2,請(qǐng)寫出l1與l2之間的位置關(guān)系 ;
(2)如圖②如果l1∥l2,點(diǎn)P在直線l1的上方運(yùn)動(dòng)時(shí),試猜想∠1+∠2與∠3之間關(guān)系并給予證明;
(3)如果l1∥l2,點(diǎn)P在直線l2的下方運(yùn)動(dòng)時(shí),請(qǐng)直接寫出∠PAC、∠PBD、∠APB之間的關(guān)系.
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