Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，3），且與y軸相交于點(diǎn)C（0，2），P（1，1）是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）寫出拋物線的解析式

 

；
（2）點(diǎn)Q是拋物線上的一點(diǎn)，且使△CPQ的面積等于△CMP的面積，則所有滿足條件的點(diǎn)Q的個(gè)數(shù)為：

 

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+3，然后把C（0，2）代入計(jì)算出a的值即可；
（2）通過(guò)△CPQ的面積等于△CMP的面積可得點(diǎn)Q在與PC平行且到CP的距離等于點(diǎn)M到CP的距離的兩條平行直線上，先利用待定系數(shù)法確定直線PC的解析式為y=-x+2，
根據(jù)兩直線平行則k相等得到直線MQ₁的解析式為y=-x+4，把M（1，3）代入確定直線MQ₁的解析式為y=-x+4，然后把y=-x²+2x+2和y=-x+4聯(lián)立起來(lái)解方程組即可得到它們交點(diǎn)的坐標(biāo)，即得到Q₁的坐標(biāo)；再直線MQ₁向下平移4個(gè)單位后與PC的距離不變，此時(shí)平移后的直線的解析式為y=-x，利用同樣的方法可求出直線y=-x與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即Q₂的坐標(biāo)，Q₃的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+3，
把C（0，2）代入得，a+3=2，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x-1）²+3=-x²+2x+2．
故答案為y=-x²+2x+2．

（2）∵△CPQ的面積等于△CMP的面積，
∴點(diǎn)Q到CP的距離等于點(diǎn)M到CP的距離，即點(diǎn)Q在與PC平行且到CP的距離等于點(diǎn)M到CP的距離的兩條平行直線上，如圖，
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，
把C（0，2），P（1，1）代入得，k+2=1，b=2，解得k=-1，
∴直線PC的解析式為y=-x+2，
又∵M(jìn)Q₁∥PC，
∴設(shè)直線MQ₁的解析式為y=-x+b，
把M（1，3）代入得b=4，
∴直線MQ₁的解析式為y=-x+4，
聯(lián)立

y=-x2+2x+2 y=-x+4

，解得

x1=1 y 1=3

，

x2=2 y2=2

，
∴Q₁的坐標(biāo)為（2，2）；
直線MQ₁y=-x+4與y軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，4），所以把直線MQ₁向下平移4個(gè)單位后與PC的距離不變，此時(shí)平移后的直線的解析式為y=-x，設(shè)它與拋物線的交
點(diǎn)為Q₂，Q₃，如圖，
聯(lián)立

y=-x2+2x+2 y=-x

，解得

x 1= 3+ 17 2 y1= -3- 17 2

，

x2= 3- 17 2 y2= -3+ 17 2

，
∴Q₂的坐標(biāo)為（

3- 17

2

，

-3+ 17

2

），Q₃的坐標(biāo)為（

3+ 17

2

，

-3- 17

2

）；
所以滿足條件的點(diǎn)Q的個(gè)數(shù)有三個(gè)．
故答案為y=-x²+2x+2；3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解二次函數(shù)綜合題的方法：先合理設(shè)解析式，再利用待定系數(shù)法確定解析式，然后利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決其他問(wèn)題．也考查了兩直線平行k相等的性質(zhì)以及把求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解方程組的問(wèn)題．