Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，連接DE交AB于點(diǎn)F，∠AED＝2∠CED，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)．

（1）求證：AE＝AG；

（2）若BE＝2，BF＝1，AG＝5，點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，求GH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）GH＝

【解析】

（1）先由矩形的性質(zhì)得對(duì)邊平行及∠BAD＝90°，再由平行線的性質(zhì)及直角三角形的斜邊中線性質(zhì)得∠CED＝∠ADB和∠ADB＝∠GAD，利用三角形的外角性質(zhì)及∠AED＝2∠CED，可得∠AGE＝∠AED，從而證得結(jié)論；

（2）由（1）中結(jié)論AE＝AG及AG＝5可得AE的長(zhǎng)；再在Rt△ABE中，由勾股定理求得AB的長(zhǎng)；然后由AF＝AB﹣BF，求得AF的長(zhǎng)；最后由三角形的中位線定理可求得GH的長(zhǎng)．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠BAD＝90°，

∴∠CED＝∠ADB，

又∵點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，

∴GA＝GD，

∴∠ADG＝∠GAD，

∴∠AGE＝2∠CED，

又∵∠AED＝2∠CED，

∴∠AGE＝∠AED，

∴AE＝AG；

（2）∵AE＝AG，AG＝5，

∴AE＝5，

又∵在Rt△ABE中，BE＝2，

∴AB＝＝，

∵BF＝1，

∴AF＝AB﹣BF＝﹣1，

∵G是DF中點(diǎn)，H是AD中點(diǎn)，

∴GH＝AF＝．