Question

已知，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點和點B，其中點B在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2．

（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）過點B作直線BC平行于x軸，直線BC與二次函數(shù)圖像的另一個交點為C，聯(lián)結(jié)AC，如果點P在x軸上，且△ABC和△PAB相似，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

(1)點B的坐標(biāo)是（3，4）,(2)二次函數(shù)的解析式是
(3)點P的坐標(biāo)為（6，0）或（，0）．

解析試題分析：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為點D，根據(jù)余切的定義可設(shè)BD=x，AD=2x，在Rt△ODB中根據(jù)勾股定理可計算出x，則BD=4，OD=3，所以點B的坐標(biāo)是（3，4）；
（2）利用待定系數(shù)法可確定二次函數(shù)的解析式；
（3）先確定C點的坐標(biāo)為（-8，4），則BC=11，AB=4，由CB∥x軸得到∠ABC=∠BAP，再分類討論：當(dāng)△ABC∽△BAP；當(dāng)△ABC∽△PAB，然后利用比例線段求AP的長，從而確定P點坐標(biāo)．
試題解析：
解：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為點D 
在Rt△ADB中，∠ADB=90º，
cot∠BAO==2．
設(shè)BD=x，AD=2x，由題意，得OA=0B=5，∴OD=2x-5．
在Rt△ODB中，OD²+B^D2=OB²，∴，
解得，（不合題意，舍去）．
∴BD=4，OD=3，∴點B的坐標(biāo)是（3，4）．
（2）由題意，得，解這個方程組，得 
∴二次函數(shù)的解析式是
（3）∵直線BC平行于x軸，∴C點的縱坐標(biāo)為4，設(shè)C點的坐標(biāo)為（m，4）．
由題意，得， 解得（不合題意，舍去），．
∴C點的坐標(biāo)為（-8，4），   BC=11，  AB= ．
∵∠ABC=∠BAP，
①如果△ABC∽△BAP，那么，
∴AP=11，點P的坐標(biāo)為（6，0）．m]
②如果△ABC∽△PAB，那么，
∴AP=，點P的坐標(biāo)為（，0）．
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（6，0）或（，0）．
考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．