Question

如圖，在中，，，，分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作交于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)，．

（1）求點(diǎn)到的距離的長(zhǎng)；

（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；

（3）是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1），，，．

點(diǎn)為中點(diǎn)，．

，．

，

，．

（2），．

，，

，，

即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：．

（3）存在，分三種情況：

①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，則．

，，

．

，，

，．

②當(dāng)時(shí)，，

．

③當(dāng)時(shí)，則為中垂線上的點(diǎn)，

于是點(diǎn)為的中點(diǎn)，

．

，

，．

綜上所述，當(dāng)為或6或時(shí)，為等腰三角形．

【解析】（1）找出三角形相似的條件（兩組角對(duì)應(yīng)相等），根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出的長(zhǎng)；

（2）利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（3）需分情況討論哪條邊是底還是腰，①利用同角的余角相等及等角的余弦值相等，得到的方程即可；②則；③根據(jù)到線段的兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上得為中垂線上的點(diǎn)，知點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)得到的方程即可。