Question

若三個數(shù)a、b、c滿足

b

a

=

c

b

，則稱a、b、c為等比數(shù)列，現(xiàn)有一個正數(shù)，其小數(shù)部分，整數(shù)部分，和其自身依次成等比數(shù)列，則該正數(shù)是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出2個未知數(shù)，關(guān)系式為：整數(shù)部分的平方=小數(shù)部分×自身，把相關(guān)數(shù)值代入后判斷出整數(shù)部分，進而解一元二次方程得到小數(shù)部分，相加即可．

解答：解：設(shè)此數(shù)為x+y，x為非負整數(shù)，0＜y＜1．
∴y（x+y）=x²，
x²=xy+y²，
當x≥2時，
左邊≥4，右邊≤2+1=3
∴x=1（x=0也可輕易排除，因為這將導(dǎo)致x=y=0與此數(shù)為正數(shù)矛盾）
∴y² +y-1=0
再加上0＜y＜1，解此二次方程得到
y=

5 -1

2

，
∴所求的數(shù)為x+y=

5 +1

2

．

點評：考查數(shù)的判斷；根據(jù)等比性質(zhì)得到相關(guān)的等式是解決本題的關(guān)鍵，判斷出相應(yīng)的整數(shù)是解決本題的難點．