Question

【題目】已知拋物線y＝ax2－2ax＋c與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1,0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且OC=3OA．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）直接寫(xiě)出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如圖1，D為y軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且OD=2，以OD為邊作正方形ODEF．將正方形ODEF以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向移動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形ODEF與△OBC重疊部分的面積為s，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t≤2）．

求：①s與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫(xiě)出這個(gè)最大值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（4）如圖2，點(diǎn)P（1，k）在直線BC上，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2－2x－3 ；

（2）直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x－3；

（3）①

②當(dāng)t =2秒時(shí)，S有最大值，最大值為．

（4）存在符合條件的點(diǎn)M，且坐標(biāo)為M 1（－，），M2（，）， M3（，），M4（，）

【解析】分析：(1)先由OC、OA的數(shù)量關(guān)系確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式; (2)由(1)的拋物線解析式可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可; (3)①首先要明確正方形ODEF和△OBC重合部分的形狀：當(dāng)點(diǎn)D在△OBC內(nèi)部時(shí)，兩者的重合部分是矩形；當(dāng)點(diǎn)D在△OBC外部時(shí)，兩者的重合部分是五邊形，其面積可由正方形的面積減去△ 的面積(G、H分別為 、 和線段BC的交點(diǎn))．在判斷t的取值范圍時(shí)，要注意一個(gè)“關(guān)鍵點(diǎn)”即點(diǎn)D位于線段BC上時(shí); ②根據(jù)①的函數(shù)性質(zhì)即可得到答案． (4)若存在以A、M、N、P為頂點(diǎn)的平行四邊形，應(yīng)分AM PN或AN PM兩種情況.由于AM在x軸上，結(jié)合平行四邊形的特點(diǎn)可知：無(wú)論哪種情況，點(diǎn)N到x軸的距離都等于點(diǎn)P到x軸的距離，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)可確定點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

本題解析：（1）∵ A（-1,0）, ,C（0,-3）

∵拋物線經(jīng)過(guò)A（-1,0）,C（0,-3）

∴，∴，

∴y=x2－2x－3

(2)由(1)的拋物線解析式可知：點(diǎn)B(3，0).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b.

將B(3，0)，C(0，-3)代入得，解得 ，

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3．

（3）當(dāng)正方形ODEF的頂點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到直線BC上時(shí)，設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-2），

根據(jù)題意得： -2=m-3，∴m=1

①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S1=2t

當(dāng)1＜t≤2時(shí)

S2= =2t－

=－，

②當(dāng)t =2秒時(shí)，S有最大值，最大值為

（4）由(2)知：點(diǎn)P(1，-2)，假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M.

①當(dāng)AM∥PN，AM=PN時(shí)，點(diǎn)N、P的縱坐標(biāo)相同，

即點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-2，代入拋物線的解析式中得x-2x-3=-2，

解得 x=1± ，

∴AM=NP=，

∴M 1（－，0） M2（，0）,

②當(dāng)AN∥PM,AN=PM時(shí)，平行四邊形的對(duì)角線PN、AM互相平分.

設(shè)M(m，0)，則N(m-2，2).

將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得(m-2)-2(m-2)-3=2，

解得 m=3±，

∴M3（3-，0） M4（3+，0 ）．

綜上，存在符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為：

M 1（－，0） M2（，0）

M3（3-，0） M4（3+，0 ）