Question

18．如圖，在⊙O中，弦AB=CD，且相交于點(diǎn)E，連接OE．
（1）如圖1，求證：EO平分∠BEC；
（2）如圖2，點(diǎn)F在半徑OD的延長(zhǎng)線上，連接AC、AF，當(dāng)四邊形ACDF是平行四邊形時(shí)，求證：OE=DE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，AF切⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)H為弧BC上一點(diǎn)，連接AH、BH、DH，若BH=$\frac{2}{3}$AH，AB=$\sqrt{21}$，求DH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）作OH⊥CD，OM⊥AB，由AB=CD，根據(jù)垂徑定理可知OH=OM，由到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上可知，OE平分∠CEB，結(jié)論得以證明；
（2）要證OE=DE，只要證明∠EOD=∠EDO即可，根據(jù)題目中的條件可以證得兩個(gè)角相等，從而可以證明結(jié)論成立；
（3）根據(jù)題意作出合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)，進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化，從而可以求得DH的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD，OM⊥AB，垂足分別為H、M，如右圖1所示，
∵AB=CD，
∴OH=OM，
∴EO平分∠BEC；
（2）連接OA、BD，如右圖2所示，
∵AB=CD
∴$\widehat{AC}+\widehat{AB}=\widehat{CD}+\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BD}$
∴AC=BD，
又∵∠DBE=∠ACE，∠CEA=∠BED，
∴△CEA≌△BED，
∴AE=DE，
又∵OE平分∠CEB，∠BED=∠CEA，
∴∠OEC=∠OEB，
∴∠OEA=∠OED，
∵OE=OE，
∴△AOE≌△DOE，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$∠DOA，
又∵四邊形CAFD是平行四邊形，
∴∠F=∠C=∠ODE，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠DOA=∠EOD=∠F=∠ODE，
∴∠EOD=∠EDO，
∴OE=DE；
（3）如圖3所示，連接OA，則OA⊥AF，
∵四邊形AFDC是平行四邊形，
∴CD∥AF，
∴OA⊥CD，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴OD⊥AB，
∵OE=DE，
∴OG=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$AO，
∴∠AOD=60°，
∴∠AHB=∠AOD=60°，
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BH，則HM=$\frac{1}{2}$AH，AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AH，
∴BM=BH-HM=$\frac{2}{3}$AH-$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{6}$AH，
由勾股定理得，AB²=BM²+AM²，
即21=$\frac{1}{36}A{H}^{2}+\frac{3}{4}A{H}^{2}$，得AH=3$\sqrt{3}$，
∴BH=2$\sqrt{3}$，
∵OA=$\frac{AG}{sin60°}=\frac{\frac{\sqrt{21}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{7}$=BD，
過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥DH于點(diǎn)Q，∠BHQ=30°，
∴BQ=$\sqrt{3}$，HQ=$2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∴DQ=$\sqrt{B{D}^{2}-B{Q}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴DH=HQ+DQ=3+2=5，
即DH=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，畫出相應(yīng)的圖形，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想和特殊角的三角函數(shù)值解答問(wèn)題．