Question

已知y是x的二次函數(shù)，且其圖象在x軸上截得的線段AB長4個(gè)單位，當(dāng)x=3時(shí)，y取得最小值-2．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）若此函數(shù)圖象上有一點(diǎn)P，使△PAB的面積等于12個(gè)平方單位，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x=3，以及AB=4，可求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)其頂點(diǎn)坐標(biāo)用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)拋物線的解析式，然后將A或B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求得二次函數(shù)的解析式．
（2）已知了AB的長，可根據(jù)三角形的面積求得P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后代入拋物線的解析式中即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵當(dāng)x=3時(shí)y取得最小值-2．
即拋物線頂點(diǎn)為（3，-2），對(duì)稱軸為直線x=3，
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-3）²-2．
又∵圖象在x軸上截得線段AB的長是4，
∴圖象與x軸交于（1，0）和（5，0）兩點(diǎn)．
∴a（1-3）²-2=0，
∴a=

1

2

，
∴所求二次函數(shù)解析式為y=

1

2

x²-3x+

5

2

．

（2）∵△PAB的面積為12個(gè)平方單位，|AB|=4．
∴

1

2

×4×|Py|=12，
∴|Py|=6，
∴Py=±6．
但拋物線開口向上，函數(shù)值最小為-2，
∴Py=-6應(yīng)舍去，
∴Py=6又點(diǎn)P在拋物線上，
∴6=

1

2

x²-3x+

5

2

，
解得，x₁=-1，x₂=7．
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，6）或（7，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定以及圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．