Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，CD⊥AB于點(diǎn)D．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→C 以1cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P不與A、C重合．過點(diǎn)P作PQ∥BC交折線AD-DC于點(diǎn)Q，以PQ為邊向PQ右側(cè)作正方形PQMN．設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分圖形的面積為S（cm²），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上時(shí)，求t的值．
（2）用含t的代數(shù)式表示PQ的長．
（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)M在CD邊上，得出△MNC與△APQ均為等腰直角三角形，再用含t的代數(shù)式表示AC的長，最后根據(jù)AC的長為2，列出方程求得t的值；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論，點(diǎn)Q在AD上和點(diǎn)Q在CD上，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分別求得PQ的長；
（3）分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)0＜t≤$\frac{2}{3}$時(shí)，正方形PQMN與△ACD重疊部分為正方形PQMN本身，當(dāng)$\frac{2}{3}$＜t≤1時(shí)，正方形PQMN與△ACD重疊部分為五邊形EFNPQ，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，正方形PQMN與△ACD重疊部分為等腰直角三角形CPQ，分別求得S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上時(shí)，∠NCM=∠NMC=∠A=∠AQP=45°，
∴△MNC與△APQ均為等腰直角三角形，
∴CN=NM=PN=PQ=AP，即CN=PN=AP，
∵AP=1×t=t，
∴AC=3t，即2=3t，
解得t=$\frac{2}{3}$；


（2）①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，點(diǎn)Q在AD上，此時(shí)，△APQ為等腰直角三角形，
∵AP=t，
∴PQ=t；
②當(dāng)1＜t＜2時(shí)，點(diǎn)Q在CD上，此時(shí)，△CPQ為等腰直角三角形，
∵AP=t，AC=2，
∴CP=PQ=2-t； 

（3）分三種情況：
①如圖2，當(dāng)0＜t≤$\frac{2}{3}$時(shí)，正方形PQMN與△ACD重疊部分為正方形PQMN本身，
由AP=PQ=t可得，S=t²；
②如圖3，當(dāng)$\frac{2}{3}$＜t≤1時(shí)，正方形PQMN與△ACD重疊部分為五邊形EFNPQ，
由AP=PN=t，AC=2可得，CN=NF=2-2t，
∴FM=EM=t-（2-2t）=3t-2，
∴S=S_{正方形PQMN}-S_△EFM=t²-$\frac{1}{2}$（3t-2）²=-$\frac{7}{2}$t²+6t-2，
③如圖4，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，正方形PQMN與△ACD重疊部分為等腰直角三角形CPQ，
由AP=t，AC=2可得，CP=2-t，
∴S=$\frac{1}{2}$（2-t）²=$\frac{1}{2}$t²-2t+2． 
綜上，S=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}（0＜t≤\frac{2}{3}）}\\{-\frac{7}{2}{t}^{2}+6t-2（\frac{2}{3}＜t≤1）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-2t+2（1＜t＜2）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)與等腰直角三角形的性質(zhì)，屬于四邊形綜合題．解題時(shí)需要根據(jù)題意進(jìn)行分類討論，在運(yùn)用分類思想時(shí)要做到不遺漏、不重復(fù)．此外，要注意等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．