已知△ABC的兩邊AB、BC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2(2k+3)x+ k2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,第三邊的長為5.
(1)當(dāng)k為何值時(shí),△ABC是直角三角形?
(2)當(dāng)k為何值時(shí),△ABC是等腰三角形?請求出此時(shí)△ABC的周長.
(1)由方程x2(2k+3)x+k2+3k+2=0,得b2
4ac=1,
無論k取何值,方程均有實(shí)數(shù)根:x1=k +1,x2=k+2.不妨設(shè)AB=k+1,AC=k+2.
第三邊BC=5,
當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí),分兩種情況:
①當(dāng)BC=5是斜邊時(shí),有AB2+AC2=BC2,即(k+1)2+(k+2)2=25,解得k1=2,k2=5(舍去);②當(dāng)AC是斜邊時(shí),有AB2+BC2=AC2,即(k+1)2+52=(k+2)2,解得k=11.
當(dāng)k=2和k=11時(shí),△ABC是直角三角形
(2) AB=k+1,AC=k+2,BC=50,
當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),有兩種情況:
①當(dāng)AC=BC=5時(shí),k+2=5,k=3.
△ABC的周長為5+5+k+1=14;②當(dāng)AB=BC=5時(shí),k+1=5,
k=4.
△ABC的周長為5+5+k+2=16.故當(dāng)k=3和4時(shí),△ABC是等腰三角形,△ABC的周長分別是14和16
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