Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，12),B(16，0),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在BA上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒。

⑴求直線AB的解析式；
⑵求t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？
⑶當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為個(gè)平方單位？
⑷當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積最大，最大值是多少？

Answer 1

（1）y=-x+12；（2）,；（3）2，8；（4）5，20.

試題分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，解得k，b即可；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解t．②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解得t．
（3）根據(jù)△APQ的面積為，求出t的值.
（3）過(guò)點(diǎn)O作QE⊥AO于點(diǎn)E，利用t表示出△APQ的面積，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
試題解析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
由題意，得
解得：
所以，直線AB的解析式為y=-x+12；
（2）由AO=12，BO=16得AB=20，
所以AP=t，AQ=20-2t，
①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB．
所以，
解得t=（秒），
②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB．
所以，
解得t=（秒）；
∴當(dāng)t為秒或秒時(shí)，△APQ與△AOB相似；
（3）過(guò)Q點(diǎn)作QE⊥Y軸于點(diǎn)E，
由△AQE∽△AOB知：
即：
解得：QE=
又S△APQ=
解得：,
(4)∵QE=
∴S_△APQ=AP•QE=t()=-t²+8t=-（t-5）²+20
∴當(dāng)t=5時(shí)，△APQ的面積最大，最大面積是20個(gè)平方單位．
考點(diǎn): 一次函數(shù)綜合題.