Question

“5·12”汶川大地震后，某健身器材銷售公司通過當(dāng)?shù)亍凹t十字會(huì)”向?yàn)?zāi)區(qū)獻(xiàn)愛心，捐出了五月份全部銷售利潤，已知該公司五月份只售出甲、乙、丙三種型號(hào)器材若干臺(tái)，每種型號(hào)器材不少于8臺(tái)，五月份支出包括這批器材進(jìn)貨款64萬元和其他各項(xiàng)支出（含人員工資和雜項(xiàng)開支）3.8萬元，這三種器材的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表，人員工資y₁（萬元）和雜項(xiàng)支出y₂（萬元）分別與總銷售量x（臺(tái)）成一次函數(shù)關(guān)系（如圖所示）。

（1）求y₁與x的函數(shù)解析式；
（2）求五月份該公司的總銷售量；
（3）設(shè)公司五月份售出甲種型號(hào)器材t臺(tái)，五月份總銷售利潤為W（萬元），求W與t的函數(shù)關(guān)系式；（銷售利潤=銷售額一進(jìn)價(jià)一其他各項(xiàng)支出）
（4）請(qǐng)推測該公司這次向?yàn)?zāi)區(qū)捐款金額的最大值。

Answer 1

解：（1）設(shè)y₁=kx+b（k＞0），
則：b=0.2，20k+b=1.2，
解得：k=0.05，b=0.2，
∴y₁與x的函數(shù)關(guān)系式為y=0.05x+0.2；
（2）依題意得：y₁+y₂=0.05x+0.2+0.005x+0.3=3.8，
解得：x=60，
∴五月份該公司的總銷售量為60臺(tái)；
（3）設(shè)五月份售出乙種型號(hào)器材p臺(tái)，則售出丙種型號(hào)器材（60-t-p）臺(tái)，
0.9t+1.2p+1.1（60-t-p）=64，
解得p=2t-20，
∴W=1.2t+1.6（2t-20）+1.3（60-t-2t+20）-64-3.8，
即W與t的函數(shù)關(guān)系式為：W=0.5t+4.2；
（4）依題意有 t≥8，2t-20≥8，60-t-2t+20≥8，
解得14≤t≤24，
又∵t為正整數(shù)，
∴t最大為24，
∵W是關(guān)于t的一次函數(shù)，由（3）知W隨t的增大而增大，
∴當(dāng)t=24（臺(tái)）時(shí)，W_最大=0.5×24+4.2=16.2（萬元），
∴該公司這次向?yàn)?zāi)區(qū)捐款金額的最大值為16.2萬元。