Question

（2012•威海）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A₁B₁C₁的兩個頂點的坐標為（1，3），（2，5），若△ABC與△A₁B₁C₁位似，則△A₁B₁C₁的第三個頂點的坐標為

（3，4）或（0，4）

．

Answer 1

分析：首先由題意可求得直線AC、AB、BC的解析式與過點（1，3），（2，5）的直線的解析式，即可知過這兩點的直線與直線AC平行，則可分別從①若A的對應點為A₁（1，3），C的對應點為C₁（2，5）與②若C的對應點為A₁（1，3），A的對應點為C₁（2，5）去分析求解，即可求得答案．

解答：解：設直線AC的解析式為：y=kx+b，
∵△ABC的頂點坐標分別為（4，0），（8，2），（6，4），
∴

4k+b=0 6k+b=4

，
解得：

k=2 b=-8

，
∴直線AC的解析式為：y=2x-8，
同理可得：直線AB的解析式為：y=

1

2

x-2，直線BC的解析式為：y=-x+10，
∵△A₁B₁C₁的兩個頂點的坐標為（1，3），（2，5），
∴過這兩點的直線為：y=2x+1，
∴過這兩點的直線與直線AC平行，
①若A的對應點為A₁（1，3），C的對應點為C₁（2，5），
則B₁C₁∥BC，B₁A₁∥BA，
設直線B₁C₁的解析式為y=-x+a，直線B₁A₁的解析式為y=

1

2

x+b，
∴-2+a=5，

1

2

+b=3，
解得：a=7，b=

5

2

，
∴直線B₁C₁的解析式為y=-x+7，直線B₁A₁的解析式為y=

1

2

x+

5

2

，
則直線B₁C₁與直線B₁A₁的交點為：（3，4）；
②若C的對應點為A₁（1，3），A的對應點為C₁（2，5），
則B₁A₁∥BC，B₁C₁∥BA，
設直線B₁C₁的解析式為y=

1

2

x+c，直線B₁A₁的解析式為y=-x+d，
∴

1

2

×2+c=5，-1+d=3，
解得：c=4，d=4，
∴直線B₁C₁的解析式為y=

1

2

x+4，直線B₁A₁的解析式為y=-x+4，
則直線B₁C₁與直線B₁A₁的交點為：（0，4）．
∴△A₁B₁C₁的第三個頂點的坐標為（3，4）或（0，4）．
故答案為：（3，4）或（0，4）．

點評：此題考查了位似圖形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握位似圖形的對應線段互相平行，注意掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的知識，注意分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．