Question

【題目】定義：在等腰三角形中，對(duì)于頂角的每一個(gè)確定的值，其底邊與腰的比值都是唯一確定的，這個(gè)比值是頂角的正對(duì)函數(shù).例如：圖①，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對(duì)函數(shù)記作sadA，sadA＝或sadA＝.

（1）在圖①中，若∠B＝60°，則sadA＝ .

（2）如圖②，在△ABC中，AB＝AC，若∠BAC＝120°，求sad∠BAC.

（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，直接寫出三個(gè)內(nèi)角的正對(duì)函數(shù)值.

Answer 1

【答案】（1）1（2）（3）， ， ．

【解析】試題分析：

(1) 由題意可知△ABC為等邊三角形. 等邊三角形三邊相等，由正對(duì)函數(shù)的定義知∠A的正對(duì)函數(shù)值為1.

(2) 要求∠BAC的正對(duì)函數(shù)值，就是要求線段BC與線段AB或AC的比. 由于題目中沒(méi)有給出線段長(zhǎng)度的具體數(shù)值，所以可以將線段AB或AC的長(zhǎng)設(shè)為2a (其中a>0). 利用BC邊上的高AD，通過(guò)解Rt△ABD的方式求得線段BD的長(zhǎng). 利用線段BD的長(zhǎng)容易得到線段BC的長(zhǎng)，進(jìn)而求得∠BAC的正對(duì)函數(shù)值.

(3) 要求該直角三角形三個(gè)內(nèi)角的正對(duì)函數(shù)值，應(yīng)該以每一個(gè)內(nèi)角為頂角依次構(gòu)造等腰三角形，求解所構(gòu)造的等腰三角形的底邊和腰的長(zhǎng)度，最后根據(jù)正對(duì)函數(shù)的定義得到要求的值.

在構(gòu)造等腰三角形時(shí)，可以在原直角三角形的基礎(chǔ)上，通過(guò)在適當(dāng)?shù)倪吷辖厝∠鄳?yīng)的邊長(zhǎng)即可構(gòu)造出三個(gè)符合要求的等腰三角形.

試題解析：

(1) ∵在△ABC中，AB=AC，

又∵∠B=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC.

∴.

故本題應(yīng)填寫：1.

(2)

如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D.

設(shè)AB=AC=2a (a>0).

∵∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，

∴在等腰三角形ABC中，BD=CD，∠B=∠C=30°.

∴在Rt△ADB中， .

∴CD=BD= ，

∴，

∴.

(3) ， ， . 具體求解過(guò)程如下.

根據(jù)題意畫(huà)出如圖①所示的Rt△ABC.

設(shè)AB=5a (a>0)，則根據(jù)可知，BC=4a，AC=3a， .

下面求解∠C的正對(duì)函數(shù)值.

如圖②，在線段CB上截取CD=CA，則△ACD是以∠C為頂角的等腰三角形.

∵∠C=90°，CD=CA=3a，

∴在Rt△ACD中， .

∴.

下面求解∠A的正對(duì)函數(shù)值.

如圖③，在線段AB上截取AE=AC，則△ACE是以∠A為頂角的等腰三角形.

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為F.

∵EF⊥AC，AE=AC=3a，

∴在Rt△AFE中， ， .

∴，

∴在Rt△CFE中， ，

∴.

下面求解∠B的正對(duì)函數(shù)值.

如圖④，在線段AB上截取BG=BC，則△BCG是以∠B為頂角的等腰三角形.

過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AC，垂足為H.

∵BG=BC=4a，AB=5a，

∴AG=AB-BG=5a-4a=a.

∵GH⊥AC，AG=a，

∴在Rt△AHG中， ， .

∴，

∴在Rt△CHG中， ，

∴.