Question

16．如圖，已知A（-4，n），B（-1，2）是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)$y=\frac{m}{x}$（m≠0，m＜0）圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D．
（1）根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值？
（2）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式；
（3）P是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)-4＜x＜-1時(shí)，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方；
（2）將點(diǎn)B（-1，2）代入反比例函數(shù)$y=\frac{m}{x}$（m≠0，m＜0）得出m，從而得出反比例函數(shù)的解析式，再把點(diǎn)A（-4，n）代入反比例函數(shù)$y=\frac{m}{x}$（m≠0，m＜0）得出點(diǎn)A坐標(biāo)，將A、B坐標(biāo)代入y=kx+b，得出k和b，從而得出一次函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，再由△PCA和△PBD面積相等，得出關(guān)于x的等式，求得x的值，即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）由圖象，當(dāng)-4＜x＜-1時(shí)，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)的值．
（2）把B（-1，2），A（-4，n）代入$y=\frac{m}{x}$得m=-2，n=$\frac{1}{2}$．
則反比例函數(shù)解析式是y=-$\frac{2}{x}$．
把A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}-4k+b=\frac{1}{2}\\-k+b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=\frac{5}{2}\end{array}\right.$．
則一次函數(shù)的解析式為$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$．
（3）如圖，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$），
由A、B的坐標(biāo)可知AC=$\frac{1}{2}$，OC=4，BD=1，OD=2，
則△PCA的高為x+4，△PDB的高$2-（\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}）$，
由S_△PCA=S_△PDB可得$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（x+4）=$\frac{1}{2}$×1×（2-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$），
解得$x=-\frac{5}{2}$，
此時(shí)$\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$=$\frac{5}{4}$．
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（$-\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．