Question

如圖，拋物線l交x軸于點A（﹣3，0）、B（1，0），交y軸于點C（0，﹣3），將拋物線l沿y軸翻折得拋物線l₁．
（1）求l₁的解析式；
（2）在l₁的對稱軸上找出點P，使點P到點A的對稱點A₁及C兩點的距離差最大，并說出理由；
（3）平行于x軸的一條直線交拋物線l₁于E、F兩點，若以EF為直徑的圓恰與x軸相切，求此圓的半徑

Answer 1

解：（1）如圖1所示，設(shè)經(jīng)翻折后，點A、B的對應(yīng)點分別為A₁、B₁，
依題意，由翻折變換的性質(zhì)可知A₁（3，0），B₁（﹣1，0），C點坐標(biāo)不變，
因此，拋物線l₁經(jīng)過A₁（3，0），B₁（﹣1，0），C（0，﹣3）三點，設(shè)拋物線l₁的解析式為y=ax²+bx+c，
則有：，
解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，
故拋物線l₁的解析式為：y=x²﹣2x﹣3．
（2）拋物線l₁的對稱軸為：x==1，
如圖2所示，連接B₁C并延長，與對稱軸x=1交于點P，則點P即為所求．
此時，|PA₁﹣PC|=|PB₁﹣PC|=B₁C．
設(shè)P'為對稱軸x=1上不同于點P的任意一點，
則有：|P'A﹣P'C|=|P'B₁﹣P'C|＜B₁C（三角形兩邊之差小于第三邊），
故|P'A﹣P'C|＜|PA₁﹣PC|，即|PA₁﹣PC|最大．
設(shè)直線B₁C的解析式為y=kx+b，
則有：，解得k=b=﹣3，
故直線B₁C的解析式為：y=﹣3x﹣3．
令x=1，得y=﹣6，
故P（1，﹣6）．
（3）依題意畫出圖形，如圖3所示，
有兩種情況．
①當(dāng)圓位于x軸上方時，設(shè)圓心為D，半徑為r，
由拋物線及圓的對稱性可知，點D位于對稱軸x=1上，
則D（1，r），F(xiàn)（1+r，r）．
∵點F（1+r，r）在拋物線y=x²﹣2x﹣3上，
∴r=（1+r）²﹣2（1+r）﹣3，
化簡得：r²﹣r﹣4=0  
解得r₁=，r₂=（舍去），
∴此圓的半徑為；
②當(dāng)圓位于x軸下方時，
同理可求得圓的半徑為．
綜上所述，此圓的半徑為或