Question

已知直線y=

3

x+4

3

與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∠ABC=60°，BC與x軸交于點(diǎn)C．
（1）試確定直線BC的解析式．
（2）若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（不與A、C重合），同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CBA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（不與C、A重合），動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長度，動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位長度．設(shè)△APQ的面積為S，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△APQ的面積最大時(shí)，y軸上有一點(diǎn)M，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以A、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得A點(diǎn)坐標(biāo)，通過OA，OB長度關(guān)系，求得角BAO為60度，即能求得點(diǎn)C坐標(biāo)，設(shè)直線BC代入BC兩點(diǎn)即求得．
（2）當(dāng)P點(diǎn)在AO之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，作QH⊥x軸．再求得QH，從而求得三角形APQ的面積．
（3）由（2）所求可知，是存在的，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由已知得A點(diǎn)坐標(biāo)（-4﹐0），B點(diǎn)坐標(biāo)（0﹐4

3

﹚，
∵OB=

3

OA，
∴∠BAO=60°，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵OC=OA=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)﹙4，0﹚，
設(shè)直線BC解析式為y=kx﹢b，

b=4 3 4k+b=0

，
∴

k=- 3 b=4 3

，
∴直線BC的解析式為y=-

3

x+4

3

；（2分）

﹙2﹚當(dāng)P點(diǎn)在AO之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，作QH⊥x軸．
∵

QH

OB

=

CQ

CB

，
∴

QH

4 3

=

2t

8

，
∴QH=

3

t
∴S_△APQ=

1

2

AP•QH=

1

2

t•

3

t=

3

2

t²﹙0＜t≤4﹚，（2分）
同理可得S_△APQ=

1

2

t•﹙8

3

-

3

t﹚=-

3

2

t2+4

3

t﹙4≤t＜8﹚；（2分）

（3）存在，如圖當(dāng)Q與B重合時(shí)，四邊形AMNQ為菱形，此時(shí)N坐標(biāo)為（4，0）
其它類似還有（-4，8）或（-4，-8）或（-4，

8 3

3

）．（4分）

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的運(yùn)用，考查了一次函數(shù)與直線交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得AB的長度，由△ABC是等邊三角形，從而求得．