Question

現(xiàn)有邊長為180厘米的正方形鐵皮，準備將它設計并制成一個開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大．
某校九年級（2）班數(shù)學興趣小組經(jīng)討論得出結論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大．為此，他們對水槽的橫截面，進行了如下探索：
（1）方案①：把它折成橫截面為矩形的水槽，如圖．
若∠ABC=90°，設BC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米²，請你寫出y關于x的函數(shù)關系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當x取何值時，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽，如圖．
若∠ABC=1 20°，請你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比較大�。�
（2）假如你是該興趣小組中的成員，請你再提供一種方案，使你所設計的水槽的橫截面面積更大．畫出你設計的草圖，標上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目所給的x的值和矩形梯形的性質，求出各線段長，把面積用含y的代數(shù)式表示出來；
（2）先猜想截面的形狀，再進行驗證計算，可多設計幾種方案．

解答：解：（1）①當BC=x時，AB=CD=

180-x

2

，y=

180-x

2

x，即y=-

1

2

x²+90x，
當x=90時，y_max=4050
答：當x=90cm時，y值最大，最大值是4050cm²．
②過B、C點分別作BE⊥AD于E，CE⊥AD于F．
設BC=x，y=

3

16

（-x²+360x+32400）
=-

3

16

x2+

45 3

2

x+2025

3

當x=60時，y=2700

3

≈4676.5．
答：當x=60cm時，y值最大，最大值是4676.5cm²
4676.5＞4050（8分）

（2）正確方案：
例解：當截面為半圓時，因為180=πr，所以其半徑為r=

180

π

，其面積為S=

1

2

π（

180

π

）²
≈5156.6＞4676.5，面積更大．
①正八邊形一半，②正十邊形一半，③半圓等．

點評：此題是一道探索性操作題，根據(jù)圖形特點將面積的最值問題轉化為二次函數(shù)的最值問題解答是解題的關鍵，（2）著重考查了同學們的實驗探索能力，需要進行猜想和驗證計算．