Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，且OP∥BC，∠P=∠BAC ．

（１）求證：PA為⊙O 的切線；
（２）若OB=5，OP=，求AC的長．

Answer 1

解：（１）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90⁰。
∵OP∥BC，∴∠B=∠AOP。
又∠P=∠BAC ，∴△ABC∽△POA，∴∠PAO=∠ACB=90⁰。
∴PA為⊙O 的切線。
（２）∵OB=5，AB是⊙O的直徑，∴OA=5，AB=2OB=10。
由（１）知，△ABC∽△POA，∴。
又∵OP=，∴。
在Rt△ACB中，。
∴AC的長為8。

（1）要證PA為⊙O 的切線只要證∠PAO =90⁰，通過直徑所對圓周角是直角可得∠ACB=90⁰，從而由△ABC∽△POA即可得證。
（2）同（1）△ABC∽△POA，利用相似比求得BC的長即可由勾股定理求得AC的長。