Question

已知正六邊形ABCDEF的邊心距為1，求這個(gè)正六邊形的半徑，周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓

專題：

分析：如圖，作輔助線；證明△OAB為等邊三角形；運(yùn)用邊角關(guān)系求出OA的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)度，該正方形的半徑、周長(zhǎng)即可求出；求出△OAB的面積，該多邊形的面積即可求出．

解答：解：如圖，AB為⊙0的內(nèi)接正六邊形的一邊，連接OA、OB；
過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M；則OM=1；
∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴OA=OB，∠AOB=

1

6

×360°=60°；
∴△OAB為等邊三角形，AB=OA；
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=∠BOM=30°；
∴cos30°=

OM

OA

，OA=

2 3

3

，
∴AB=OA=

2 3

3

；S△OAB=

1

2

AB•OM=

1

2

×

2 3

3

×1，
∴S正六邊形ABCDEF=6×

3

3

=2

3

；
正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)=6×

2 3

3

=4

3

，
∴這個(gè)正六邊形的半徑，周長(zhǎng)和面積分別為：

2 3

3

，4

3

，2

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了正多邊形和圓的位置關(guān)系及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷；對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力提出了一定的要求．