Question

【題目】如圖，折疊邊長為a的正方形ABCD，使點C落在邊AB上的點M處（不與點A，B重合），點D落在點N處，折痕EF分別與邊BC、AD交于點E、F，MN與邊AD交于點G．證明：

（1）△AGM∽△BME；
（2）若M為AB中點，則 ；
（3）△AGM的周長為2a．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=90°，

∴∠AMG+∠AGM=90°，

∵EF為折痕，

∴∠GME=∠C=90°，

∴∠AMG+∠BME=90°，

∴∠AGM=∠BME，

在△AGM與△BME中，

∵∠A=∠B，∠AGM=∠BME，

∴△AGM∽△BME；

（2）解：∵M為AB中點，

∴BM=AM= ，

設BE=x，則ME=CE=a﹣x，

在Rt△BME中，∠B=90°，

∴BM2+BE2=ME2，即（ ）2+x2=（a﹣x）2，

∴x= a，

∴BE= a，ME= a，

由（1）知，△AGM∽△BME，

∴ = ，

∴AG= BM= a，GM= ME= a，

∴ ；

（3）解：設BM=x，則AM=a﹣x，ME=CE=a﹣BE，

在Rt△BME中，∠B=90°，

∴BM2+BE2=ME2，即x2+BE2=（a﹣BE）2，

解得：BE= ，

由（1）知，△AGM∽△BME，

∴ ，

∵C△BME=BM+BE+ME=BM+BE+CE=BM+BC=a+x，

∴C△AGM=C△BME =（a+x） =2a．

【解析】（1）根據正方形和折疊的性質，得到兩角對應相等，得到△AGM∽△BME；（2）由M為AB中點，再根據勾股定理和由（1）中的△AGM∽△BME，得到比例，證明出比例式；（3）根據勾股定理得到BE的代數式，再由（1）知，△AGM∽△BME，得到比例式，求出△AGM的周長為2a．
【考點精析】通過靈活運用翻折變換（折疊問題）和相似三角形的判定與性質，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．