Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（3）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，當△ACM周長最小時，求點M的坐標及△ACM的最小周長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A（﹣1，0）在拋物線y= x2+bx﹣2上，

∴ ×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，

解得：b=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣2．

y= （x﹣ ）2﹣ ，

∴頂點D的坐標為：（ ，﹣ ）

（2）解：當x=0時y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．

當y=0時， x2﹣ x﹣2=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴B （4，0），

∴OA=1，OB=4，AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2．

∴△ABC是直角三角形．

（3）解：如圖所示：連接AM，

點A關(guān)于對稱軸的對稱點B，BC交對稱軸于點M，根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，

MC+MA的值最小，即△ACM周長最小，

設(shè)直線BC解析式為：y=kx+d，則 ，

解得： ，

故直線BC的解析式為：y= x﹣2，

當x= 時，y=﹣ ，

∴M（ ，﹣ ），

△ACM最小周長是：AC+AM+MC=AC+BC= +2 =3 ．

【解析】（1）將點A的坐標代入拋物線的解析式即可求出b的值；再將二次函數(shù)配方成頂點式，即可寫出頂點坐標。
（2）先求出拋物線與x軸、y軸的交點坐標，即求出當x=0時y的值和y=0時x的值，再利用勾股定理求出AB2，AC2，BC2，再比較AC2+BC2與AB2的大小即可判斷。
（3）抓住已知條件點M是拋物線對稱軸上的一個動點且當△ACM周長最小，可知點A和點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，因此連接BC交對稱軸于點M，連接AM，先求出直線BC的函數(shù)解析式，再根據(jù)拋物線的頂點坐標即可求出點,M的坐標，然后利用勾股定理求出BC、AC的長，△ACM的最小周長=BC+AC，即可求出結(jié)果。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達式的相關(guān)知識，掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法，以及對拋物線與坐標軸的交點的理解，了解一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．