Question

已知：如圖，在△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求證：△ABE≌△DCE；
（2）尺規(guī)作圖：過點E作EF⊥BC，F(xiàn)為垂足；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（3）在（1）（2）基礎上證明：∠AEF=∠DEF．

Answer 1

解：（1）證明：△ABE和△DCE中
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；

（2）如圖，根據(jù)基本作圖過直線外一點作已知直線的垂線的方法作出圖形即可．


（3）∵△ABE≌△DCE，
∴BE=CE．
∵EF⊥BC，
∴∠AEF=∠CEF．
∴∠AEF+∠AEB=∠CEF+∠DEC，
∴∠AEF=∠DEF．
分析：（1）由條件直接由AAS就可以得出結論；
（2）如圖，根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的方法作出圖形即可；
（3）由（1）的結論可以得出BE=CE，就有△BEC為等腰三角形，根據(jù)三線合一的性質就可以得出∠BEF=∠CEF，再由等式的性質就可以得出結論．
點評：本題考查全等三角形的判定與性質的運用，尺規(guī)作圖的運用，等腰三角形的性質的運用，等式的性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．