Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接OC，如果OC恰好經(jīng)過(guò)弦BD的中點(diǎn)E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的判定．

【專題】證明題．

【分析】（1）由AB為⊙O的直徑，可得∠D=90°，繼而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，則可證得BC是⊙O的切線；

（2）根據(jù)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E時(shí)BD的中點(diǎn)可知OE是△ABD的中位線，故AD∥OE，則∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出結(jié)論．

【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠D=90°，

∴∠ABD+∠A=90°，

∵∠DBC=∠A，

∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E時(shí)BD的中點(diǎn)，

∴OE是△ABD的中位線，

∴AD∥OE，

∴∠A=∠BOC．、

∵由（1）∠D=∠OBC=90°，

∴∠C=∠ABD，

∵tanC=，

∴tan∠ABD===，解得BD=6，

∴AB===3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定，熟知經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解答此題的關(guān)鍵．