Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．

（1）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若∠CAB=120°，⊙O的半徑等于5，求線(xiàn)段BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1) 見(jiàn)解析;（2）

【解析】試題分析：（1）先連接OD、AD，由于AB是直徑以及AB=AC，易證BD=CD，而OA=OB，從而可知OD是△ABC的中位線(xiàn)，那么OD∥AC，再結(jié)合DE⊥AC，易證∠ODE=∠CED=90°，即DE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）由⊙O半徑是5，可知AB=10，而△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，利用等腰三角形三線(xiàn)合一定理可知∠CAD=∠BAD=60°，在Rt△ADB中，易求BD，進(jìn)而可求BC．

試題解析：如圖所示，連接OD、AD．

∵AB是直徑，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
又∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線(xiàn)，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°，
∴DE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）∵⊙O半徑是5，
∴AB=10，
∵△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD=60°，
在Rt△ADB中，BD=sin60°AB=5，
∴BC=10．