Question

如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”。如4=2²－0²，12=4²－2²，20=6²－4²，因此，4，12，20這三個數(shù)都是神秘數(shù)。

（1）       28和2012這兩個數(shù)是神秘數(shù)嗎？為什么？

（2）       設兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？

（3）       兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正數(shù)）是神秘嗎？為什么？

Answer 1

（1）∵28=8²-6²    2012=504²-502²

          ∴28和2012這兩個數(shù)都是神秘數(shù)。

   （2）設這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的神秘數(shù)為x

        ∴x=(2k+2)-(2k)²

           =4(2k+1)

        ∴這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的神秘數(shù)是4的倍數(shù)。

    （3）由（2）可得，神秘數(shù)可表示為4(2k+1)，因為(2k+1)是奇數(shù)，因此神秘數(shù)是4的倍數(shù)，但一定不是8的倍數(shù)。

      設定兩個奇數(shù)為2n+1和2n-1，則(2n+1)²－(2n-1)²=8n.

        ∴兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)

        ∴兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù)。