Question

四邊形OABC是等腰梯形，OA∥BC，在建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0），B（3，2），點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)沿折線段OA-AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)沿折線段BC-CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)、設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，N點(diǎn)距原點(diǎn)O的距離是多少？當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到AB上（不含A點(diǎn)）時(shí)，連接MN，t為何值時(shí)能使四邊形BCNM為梯形？
（2）0≤t＜2時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥x軸于P點(diǎn)，連接AC交NP于Q，連接MQ
①求△AMQ的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出t的取值范圍）
②當(dāng)t取何值時(shí)，△AMQ的面積最大？最大值為多少？
③當(dāng)△AMQ的面積達(dá)到最大時(shí)，其是否為等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）經(jīng)分析，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，N運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，求得OC的長(zhǎng)即可．若四邊形BCNM為梯形在，則NC=BM，列出關(guān)于t的方程求解即可．
（2）△AMQ的面積S=

1

2

×MA×PQ，應(yīng)先求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為3-t，縱坐標(biāo)可由

PA

CN

=

PQ

NQ

求得，根據(jù)列出的函數(shù)關(guān)系式，求得最大值．

解答：解：（1）四邊形OABC是等腰梯形，則C（1，2），點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，N運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，ON=OC=

5

；
若四邊形BCNM為梯形，則NC=BM，t-2=

5

-2（t-2），解得：t=

6+ 5

3

．

（2）①由于點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，
則點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為3-t，縱坐標(biāo)由

PA

CN

=

PQ

NQ

求得：縱坐標(biāo)為

2

3

（t+1），
s=

1

2

×MA×PQ=

1

2

×（4-2t）×

2

3

（t+1）=-

2

3

t²+

2

3

t+

4

3

．
②當(dāng)t=

1

2

時(shí)，最大值是

3

2

．
③是，t=

1

2

，PM=3-t-2t=

3

2

，PA=4-（3-t）=

3

2

，
則PM=PA，故△AMQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過(guò)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)列出函數(shù)關(guān)系式，并求得最值，綜合性強(qiáng)．