Question

【題目】如圖，線段，為的中點(diǎn)，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離是1，連接，線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接，則線段長度的最大值是（ ）

A.2B.3C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，過點(diǎn)P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則x2＋y2＝1．然后證明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性質(zhì)得到EC＝PF＝y，FB＝EP＝2x，從而得到點(diǎn)C（x＋y，y＋2x），再由勾股定理可求得AC＝，最后，依據(jù)當(dāng)y＝1時，AC有最大值求解即可．

解：如圖所示：以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，連接BC，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，過點(diǎn)P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點(diǎn)F．

∵AB＝4，M為AB的中點(diǎn)，
∴A（2，0），B（2，0），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則x2＋y2＝1，
∵∠EPC＋∠BPF＝90°，∠EPC＋∠ECP＝90°，
∴∠ECP＝∠FPB，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：PC＝PB，
在△ECP和△FPB中，

，
∴△ECP≌△FPB（AAS），
∴EC＝PF＝y，EP＝FB＝2x，
∴C（x＋y，y＋2x），

∴AC＝，

∵x2＋y2＝1，
∴AC＝，

∵1≤y≤1，
∴當(dāng)y＝1時，AC有最大值，AC的最大值為，
故答案為：．