Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦，OC＝4，∠OAC＝60°.

(1)求∠AOC的度數(shù)；

(2)如圖，一動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在⊙O上按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)S△MAO＝S△CAO時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長．

Answer 1

【答案】（1）∠AOC＝60°；（2）當(dāng)S△MAO＝S△CAO時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長為π或π或π或π.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形中有一角為60度時(shí)是等邊三角形得到△ACO是等邊三角形，即可得到結(jié)論；

（3）如圖，當(dāng)S△MAO=S△CAO時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的位置有四種．

①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)M1，連接AM1，OM1；②過點(diǎn)M1作M1M2∥AB交⊙O于點(diǎn)M2，連接AM2，OM2；③過點(diǎn)C作CM3∥AB交⊙O于點(diǎn)M3，連接AM3，OM3；④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，M與C重合，求得每種情況的OM轉(zhuǎn)過的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式求得弧AM的長．

（1）在△ACO中，∵∠OAC=60°，OC=OA，∴△ACO是等邊三角形，∴∠AOC=60°．

（2）如圖，分四種情況討論：

①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)M1，連接AM1，OM1．

易得：S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°，∴，∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M1時(shí)，S△MAO=S△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為．

②過點(diǎn)M1作M1M2∥AB交⊙O于點(diǎn)M2，連接AM2，OM2，易得：=S△CAO，∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°，∴或，∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M2時(shí)，S△MAO=S△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為．

③過點(diǎn)C作CM3∥AB交⊙O于點(diǎn)M3，連接AM3，OM3，易得：=S△CAO，∴∠BOM3=60°，∴或，∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M3時(shí)，S△MAO=S△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為．

④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，M與C重合，S△MAO=S△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為或．

綜上所述：當(dāng)S△MAO=S△CAO時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長為π或π或π或π．