Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣3），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線上的一個動點(diǎn)，l是過點(diǎn)（0，2）且垂直于y軸的直線，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PO．

（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)處時，計算：PO= ，PH= ，由此發(fā)現(xiàn)，PO PH（填“＞”、“＜”或“=”）；

②當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動時，猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)C（1，﹣2），問是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)B（0，1）；（2）①5，5=；②PO=PH；（3）P（1，）或（﹣1，）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．

（2）①求出PO、PH即可解決問題．

②結(jié)論：PO=PH．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，），利用兩點(diǎn)之間距離公式求出PH、PO即可解決問題．

（3）首先判斷PH與BC，PO與AC是對應(yīng)邊，設(shè)點(diǎn)P（m，），由列出方程即可解決問題．

試題解析：（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣3），∴﹣3=16a+1，∴a=，∴拋物線解析式為，頂點(diǎn)B（0，1）；

（2）①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)處時，∵PO=5，PH=5，∴PO=PH，故答案分別為：5，5=；

②結(jié)論：PO=PH．理由：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，），∵PH=2﹣（）=，PO=，∴PO=PH；

（3）∵BC==，AC==，AB==，∴BC=AC，∵PO=PH，又∵以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，∴PH與BC，PO與AC是對應(yīng)邊，∴，設(shè)點(diǎn)P（m，），∴，解得m=±1，∴點(diǎn)P坐標(biāo)（1，）或（﹣1，）．