Question

【題目】在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D,E分別是邊AB,AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(D不與A,B重合),且保持DE∥BC，以DE為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形DEFG.

(1)當(dāng)FG與BC重合時(shí)，求正方形DEFG的邊長；

(2)設(shè)AD=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(3)當(dāng)△BDG是等腰三角形時(shí)，請直接寫出AD的長.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或 ； (3) 或或；

【解析】

（1）首先設(shè)BC邊上的高AM交DE天點(diǎn)P．由在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，即可求得BM與AM的值，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形高的比等于相似比，即可得方程：，解此方程即可求得答案；

（2）首先根據(jù)三角函數(shù)的定義求得正方形DEFG的邊長為，然后分別從當(dāng)FG在△ABC的內(nèi)部時(shí)與當(dāng)FG在△ABC的外部時(shí)去分析求解即可求得答案；

（3）分別從GB=GD，DB=DG，BD=BG去分析求解即可求得答案．

(1)如圖1，設(shè)BC邊上的高AM交DE于點(diǎn)P.

∵AB=AC=5，BC=6，且AM⊥BC，

∴BM=BC=3,∴AM=,

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC,

∴,

設(shè)正方形DEFG的邊長為a，

則,

∴a=，

∴當(dāng)FG與BC重合時(shí),正方形DEFG的邊長為.

(2)在Rt△ADP中,DP=AD=x，

∴正方形DEFG的邊長為x.

①如圖2,當(dāng)FG在△ABC的內(nèi)部時(shí), ;

②如圖3，當(dāng)FG與BC重合或在△ABC的外部時(shí)，設(shè)DG與BC交于點(diǎn)N.

在Rt△DBN中, .

∴

(3)如圖4，當(dāng)GB=GD時(shí)，過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，

則DH=BH，

∵AD=x,DG=x，

∴DH=DG=x,

∵AD+DB=5，

∴x+x+x=5，

解得：x=，

則AD=;

如圖5，當(dāng)DB=DG時(shí)，

則AB=AD+DB=AD+DG，

即x+x=5，

解得x=，

即AD=;

如圖6，當(dāng)BD=BG時(shí)，

BD==DG=x=x，

∵AD+BD=AB=5，

∴x+x=5，

解得：x=，

∴AD=.

∴當(dāng)△BDG是等腰三角形時(shí),AD=或或.