Question

如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（-2，-1），且點(diǎn)P（-1，-2）為雙曲線上的一點(diǎn)，過P作PA垂直x軸于點(diǎn)A：
（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)Q為直線MO上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M、O重合），過點(diǎn)Q作QB⊥y軸于點(diǎn)B，是否存在點(diǎn)Q，使△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）在（2）的條件下，在平面內(nèi)找一點(diǎn)C，使以O(shè)、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出C點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，正比例函數(shù)的解析式為y=k′x．把點(diǎn)M（-2，-1）分別代入其函數(shù)解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)的關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)在直線MO上存在這樣的點(diǎn)Q（x，

1

2

x），使得△OBQ與△OAP面積相等，則B（0，

1

2

x）．根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于x的方程，解方程即可；
（3）利用在（2）的條件下，在平面內(nèi)找一點(diǎn)C，使以O(shè)、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，結(jié)合P，Q坐標(biāo)以及平行四邊形的對(duì)邊相等，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

（k≠0），正比例函數(shù)的解析式為y=k′x．
∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（-2，-1），
∴-1=

k

-2

，-1=-2k′，
∴k=2，k′=

1

2

．
∴正比例函數(shù)的解析式為y=

1

2

x，反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

．

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)在直線MO上存在這樣的點(diǎn)Q（x，

1

2

x），使得△OBQ與△OAP面積相等，則B（0，

1

2

x）．
∵S_△OBQ=S_△OAP，
∴

1

2

•x×

1

2

x=

1

2

×2×1，
解得x=±2．
當(dāng)x=2時(shí)，

1

2

x=1；
當(dāng)x=-2時(shí)，

1

2

x=-1．
故在直線MO上存在這樣的點(diǎn)Q（2，1）或（-2，-1），使得△OBQ與△OAP面積相等．

（3）如圖所示：當(dāng)四邊形OPCQ是平行四邊形，
∵P（-1，-2），Q（2，1），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為；（1，-1），
當(dāng)四邊形OPQ′C′是平行四邊形，
∵P（-1，-2），Q′（-2，-1），
∴C′點(diǎn)坐標(biāo)為；（-1，1），
綜上所述：使以O(shè)、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，1），（1，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式及三角形的面積，利用形數(shù)結(jié)合解決此類問題，是非常有效的方法．