Question

聰明好學的敏敏查閱有關資料發(fā)現(xiàn)：用不過圓錐頂點平行于一條母線的平面截圓錐所得的截面為拋物面，即圖1中曲線CFD為拋物線的一部分，如圖1，圓錐體SAB的母線長為10，側面積為50π，圓錐的截面CFD交母線SB于F，交底面⊙P于C、D，AB⊥CD于O，OF∥SA且OF⊥CD，OP=4。

（1）求底面圓的半徑AP的長及圓錐側面展開圖的圓心角的度數(shù)；

（2）當以CD所在直線為x軸，OF所在的直線為y軸建立如圖2所示的直角坐標系，求過C、F、D三點的拋物線的函數(shù)關系式．

（3）在拋物面CFD中能否截取長為5.6，寬為2.2的矩形？說明理由。

Answer 1

解答：（1）設AP=r,則=50，=5�！�…………………（1分）

設圓心角的度數(shù)為n,則，即AP=5……………………（1分）

所以圓錐側面展開圖的圓心角度數(shù)為180°。…………………（1分）

（2）連接CP，在RT△COP中，CP=5，OP=4，∴CO=3,

∵P為圓心，PO⊥CD，∴CO=DO，即AB垂直平分CD，

∵

AB=10，SA=SB=10，∴△SAB為等邊三角形，

∴∠SAB=∠ABS=60°，∵FO∥SA，∴∠FOB=∠OBF=60°，

∴OF=OB=4+5=9，

∴F（0，9）………………………………………………………………（2分）

∵F為過C、D、F三點的拋物線的頂點，設拋物線解析式為

∵得a=-1, ∴……………………………………（2分）

(3)當

…………………………………（2分）

∴由矩形與拋物線的對成性可知，能截取長為5.6，寬為2.2的矩形�！�………（1分）