Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中直線分別交x軸、y軸于A（4，0）、B（0，-3）兩點(diǎn)，現(xiàn)有一半徑為1的動圓，圓心位于B點(diǎn)處，沿著BA方向以每秒1個(gè)單位的速率做平移運(yùn)動，則經(jīng)過

 

秒后動圓與坐標(biāo)軸相切．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：在直角三角形OAB中，OA=4，OB=3，由勾股定理得AB=5，設(shè)⊙經(jīng)過x秒后與坐標(biāo)軸相切；
（1）當(dāng)⊙經(jīng)過x秒后到達(dá)P點(diǎn)與y軸相切，過P點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為C，則PC=1；根據(jù)△PBC∽△ABO中的成比例線段求解；
（2）當(dāng)⊙經(jīng)過x秒后到達(dá)Q點(diǎn)與x軸相切，過Q點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為d，則QD=1AQ=5-x；根據(jù)△AQD∽△ABO中的成比例線段求解．
（3）當(dāng)⊙經(jīng)過x秒后到達(dá)K點(diǎn)與x軸相切，過K點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為E，則KE=1；AK=x-5，根據(jù)△AKE∽△ABO中的成比例線段求解

解答：解：∵A（4，0）、B（0，-3）
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
（1）當(dāng)⊙經(jīng)過x秒后到達(dá)P點(diǎn)與y軸相切，過P點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為C，則PC=1；
由△PBC∽△ABO得，

PB

AB

=

PC

OA

，即

x

5

=

1

4

，
解得x=

5

4

；
（2）當(dāng)⊙經(jīng)過x秒后到達(dá)Q點(diǎn)與x軸相切，過Q點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為d，則QD=1；
AQ=5-x；
由△AQD∽△ABO得，

QA

AB

=

QD

OB

，即

5-x

5

=

1

3

，
解得x=

10

3

．
（3）當(dāng)⊙經(jīng)過x秒后到達(dá)K點(diǎn)與x軸相切，過K點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為E，則KE=1；
AK=x-5，
由△AKE∽△ABO得，

AK

AB

=

KE

OB

，即

x-5

5

=

1

3

解得x=

20

3

，
故答案為

5

4

或

10

3

或

20

3

．

點(diǎn)評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．