Question

【題目】△ABC中，三個內(nèi)角的平分線交于點O，過點O作OD⊥OB，交邊BC于點D．
（1）如圖1，猜想∠AOC與∠ODC的關(guān)系，并說明你的理由；
（2）如圖2，作∠ABC外角∠ABE的平分線交CO的延長線于點F． ①求證：BF∥OD；
②若∠F=35°，求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠AOC=∠ODC，

理由：∵三個內(nèi)角的平分線交于點O，

∴∠OAC+∠OCA= （∠BAC+∠BCA）= （180°﹣∠ABC），

∵∠OBC= ∠ABC，

∴∠AOC=180°﹣（∠OAC+∠OCA）=90°+ ∠ABC=90°+∠OBC，

∵OD⊥OB，

∴∠BOD=90°，

∴∠ODC=90°+∠OBD，

∴∠AOC=∠ODC

（2）解：①∵BF平分∠ABE，

∴∠EBF= ∠ABE= （180°﹣∠ABC）=90°﹣∠DBO，

∵∠ODB=90°﹣∠OBD，

∴∠FBE=∠ODB，

∴BF∥OD；

②∵BF平分∠ABE，

∴∠FBE= ∠ABE= （∠BAC+∠ACB），

∵三個內(nèi)角的平分線交于點O，

∴∠FCB= ∠ACB，

∵∠F=∠FBE﹣∠BCF= （∠BAC+∠ACB）﹣ ∠ACB= ∠BAC，

∵∠F=35°，

∴∠BAC=2∠F=70°

【解析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠OAC+∠OCA= （180°﹣∠ABC），∠OBC= ∠ABC，由三角形的內(nèi)角和得到∠AOC=90°+∠OBC，∠ODC=90°+∠OBD，于是得到結(jié)論；（2）①由角平分線的性質(zhì)得到∠EBF=90°﹣∠DBO，由三角形的內(nèi)角和得到∠ODB=90°﹣∠OBD，于是得到結(jié)論；②由角平分線的性質(zhì)得到∠FBE （∠BAC+∠ACB），∠FCB= ACB，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的判定和三角形的內(nèi)角和外角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握同位角相等，兩直線平行;內(nèi)錯角相等，兩直線平行;同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．