Question

已知拋物線M：y = -x²+2mx+n（m，n為常數(shù)，且m> 0，n>0）的頂點為A，與y軸交于點C；拋物線N與拋物線M關(guān)于y軸對稱，其頂點為B，連結(jié)AC，BC，AB．

問拋物線M上是否存在點P，使得四邊形ABCP為菱形？如果存在，請求出m的值；如果不存在，請說明理由．

說明：⑴如果你反復(fù)探索,沒有解決問題, 請寫出探索過程(要求至少寫3步)；

⑵在你完成⑴之后,可以從①、②中選取一個條件，完成解答（選�、俚�7分；選取②得10分）．

①；②．

附加題: 若將26題中“拋物線M：y= -x²+2mx+n（m，n為常數(shù)，且m> 0，n>0） ”改為“拋物線M：y= ax²+2mx+n（m，n為常數(shù)，且m≠ 0,a≠0, n>0） ”，其他條件不變, 探究 26題中問題．

Answer 1

解：假設(shè)拋物線M上存在點P，使得四邊形ABCP為菱形，連結(jié)CP，作AD⊥x軸于D，交CP于E，

則AD為拋物線M的對稱軸，且PC = AB = BC

由拋物線的對稱性可得AC=BC， ∴AC = BC = AC．

從而△ABC為等邊三角形

∴∠ACG =∠BCG =30°

∵四邊形ABCP為菱形，且點P在拋物線M上，

∴點P與點C關(guān)于AD對稱

∴∠ACE=90°－ 30° = 60°

∵由拋物線M配方得，

 

點A、C的坐標分別為A(m, m² +n)、C(0, n)，

∴AE= m²+n－n= m², CE = m．

在Rt△ACE中，

∴  ∵m> 0 

∴∴拋物線M上存在點P，使得四邊形ABCP為菱形，此時