Question

已知拋物線y=x²+（1-2a）x+a²（a≠0）與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁≠x₂）．
（1）求a的取值范圍，并證明A、B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)O的左側(cè)；
（2）若拋物線與y軸交于點(diǎn)C，且OA+OB=OC-2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）首先令拋物線的值y=0，可得出一個關(guān)于x的方程，那么x₁•x₂=a2＞0，因此x₁、x₂同號，然后可根據(jù)拋物線與x軸有兩個坐標(biāo)不同的交點(diǎn)即方程的△＞0以及x₁+x₂的值來得出點(diǎn)A、B均在原點(diǎn)O左側(cè)．
（2）可先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系用a表示出OA、OB的長，然后用a表示出OC的長，然后根據(jù)題中給出的等量關(guān)系：OA+OB=OC-2求出a的值．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₁≠x₂，
∴△=（1-2a）²-4a²＞0．a(chǎn)＜

1

4

．
又∵a≠0，
∴x₁•x₂=a²＞0，
即x₁、x₂必同號．
而x₁+x₂=-（1-2a）=2a-1＜

1

2

-1=-

1

2

＜0，
∴x₁、x₂必同為負(fù)數(shù)，
∴點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）都在原點(diǎn)的左側(cè)．

（2）∵x₁、x₂同為負(fù)數(shù)，
∴由OA+OB=OC-2，
得-x₁-x₂=a²-2
∴1-2a=a²-2，
∴a²+2a-3=0．
∴a₁=1，a₂=-3，
∵a＜

1

4

，且a≠0，
∴a的值為-3．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識點(diǎn)．