Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC= ，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，且BC=BD=2，將Rt△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到Rt△FEC的位置，并使點(diǎn)E在射線(xiàn)BD上，連接AF交射線(xiàn)BD于點(diǎn)G，則AG的長(zhǎng)為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CF，∠BCE=∠ACF，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠CBD=∠CAF，從而得到△BCD和△AGD相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AD=AG，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于H，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得CD=2CH，再解直角三角形求出CH、AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)AD=AC-CD代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．

∵△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△FEC，

∴BC=CE，AC=CF，∠BCE=∠ACF（為旋轉(zhuǎn)角），

∵∠CBD=（180°-∠BCE），∠CAF=（180°-∠ACF），

∴∠CBD=∠CAF，

又∵∠BDC=∠ADG，

∴△BCD∽△AGD，

∴=，

∵BC=BD，

∴AG=AD，

則CD=2CH，

∵sin∠BAC=，BC=2，

∴==，

即==，

解得CH=，AC=6，

∴CD=2×=，

AD=AC-CD=6-=，

∴AG=AD=.

故答案為：