Question

一次函數(shù)y=ax+b的圖象分別與x軸，y軸交于點M，N，與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于點A，B，過點A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C，E，過點B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F、D，AC與BD交于K，連接CD．
（1）若點A，B在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象的同一分支上，如圖1，試證明：AN=BM．
（2）若點A，B分別在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象的不同分支上，如圖2，則AN與BM還相等嗎？試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）本題需先連接AD，BC，得出S_△ADC=S_△BDC再證出ANDC是平行四邊形，得出AN=CD和DC=BM，從而得出AN=BM．
（2）本題需先根據(jù)（1）的理由即可得出AN與BM相等即可．

解答：解：（1）連接AD，BC，過D作DP⊥AB，過C作CQ⊥AB，
S_△ADC=

1

2

AC．DK=

1

2

x₁．y₁=

1

2

k，
S_△BDC=

1

2

BD．CK=

1

2

x₂y₂=

1

2

k，
∴S_△ADC=S_△BDC，即S_△ADK=S_△BCK，
∴S_△ADB=S_△ACB，
∴DP=CQ，又DP∥CQ，又∠DPQ=90°，
∴四邊形PQCD為矩形，
∴AB∥CD，
∵AC∥ND，
∴ANDC是平行四邊形，
∴AN=CD，
同理：DC=BM，
∴AN=BM．


（2）相等．
AN與BM仍然相等．
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF，
∴AK•DK=BK•CK．
∴CK：AK=DK：BK．
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK．
∴∠CDK=∠ABK．
∴AB∥CD
∵AC∥y軸，
∴四邊形ANDC是平行四邊形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．

點評：本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應用，在解題時要能把反比例函數(shù)的圖象與平行四邊形的判定和性質(zhì)相結合是本題的關鍵．