Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形 的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)處，點(diǎn)分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），且與正方形外角平分線交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，①在軸上是否存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使四邊形為正方形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①存在， ，理由見解析；②存在，，理由見解析

【解析】

（1）在上截取，連結(jié)，利用正方形的性質(zhì)，外角平分線和等量代換證明，即可證明；

（2）過作交于，則點(diǎn)即為所求，利用平行四邊形和正方形的性質(zhì)證明，則有，進(jìn)而可求出，從而可確定M的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)C作EP的平行線，過點(diǎn)P作CE的平行線，兩平行線的交點(diǎn)即為所求Q點(diǎn)，過點(diǎn)Q作交CB與點(diǎn)K, 利用正方形的性質(zhì)證明，則有進(jìn)而可求，從而可確定Q的坐標(biāo)．

（1）證明：在上截取，連結(jié)，

∵是正方形，

∴，

，

∴．

又，

．

，

∴．

，

，

．

∵AG平分 ,

，

，

∴，

∴，

∴；

（2）①存在點(diǎn)使四邊形為平行四邊形，

過作交于，則點(diǎn)即為所求，

∵是正方形，

∴．

∵四邊形為平行四邊形，

．

∵，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴在軸上存在點(diǎn)，使四邊形的平行四邊形；

②存在點(diǎn)Q使四邊形為正方形．

過點(diǎn)C作EP的平行線，過點(diǎn)P作CE的平行線，兩平行線的交點(diǎn)即為所求Q點(diǎn)，過點(diǎn)Q作交CB與點(diǎn)K,

∵四邊形是正方形，

∴ ，

．

又，

．

，

，

，

，

（此時(shí)K與點(diǎn)B重合），

，

．