Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，且OB=2OD．

（1）當(dāng)時，

①寫出拋物線的對稱軸；

②求拋物線的表達(dá)式；

（2）存在垂直于x軸的直線分別與直線：和拋物線交于點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)P，Q均在x軸下方，結(jié)合函數(shù)圖象，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）或．

【解析】

（1）①由二次函數(shù)的對稱軸方程可得出答案；

②根據(jù)題意求出B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），代入拋物線解析式可得出答案；

（2）求出E（-，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-，0）．①當(dāng)b＞0時，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2b，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，0），則-2b＜-，解不等式即可；②當(dāng)b＜0時，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-b，0），則0＜-，解出b＜-2．

解：（1）當(dāng)時，化為．

①．

②∵拋物線的對稱軸為直線，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，），OD=1．

∵OB=2OD，

∴ OB=2．

∵點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于直線對稱，

∴點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè)．

∴ 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）．

∵拋物線與x軸交于點(diǎn)B（，），

∴ ．

解得．

∴拋物線的表達(dá)式為．

（2）設(shè)直線與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)E，

當(dāng)y=0時，

∴

∴ E（，0）．

拋物線的對稱軸為，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．

①當(dāng)時，．

∵OB=2OD，

∴ OB=b．

∴ 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，）．

當(dāng)<時，存在垂直于x軸的直線分別與直線：和拋物線交于點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)P，Q均在x軸下方，

解得．

②當(dāng)時，．

∴ ．

∵OB=2OD，

∴ OB=-b．

∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，且A在B的左側(cè)，

∴ 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-b，）．

當(dāng)0<時，存在垂直于x軸的直線分別與直線：和拋物線交于點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)P，Q均在x軸下方，

解得b<-2．

綜上，b的取值范圍是或．