Question

請同學(xué)們試一試：
（1）如圖（1），OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形．
（2）猜想一下：在一個三角形中，兩個內(nèi)角平分線相交而成的一個鈍角的度數(shù)與第三個內(nèi)角的度數(shù)之間有什么關(guān)系？（寫出結(jié)論，并證明）（溫馨提醒：要畫圖、寫已知、求證．） 下面的證明如果要用此題結(jié)論，則可以直接用．
（3）如圖（2）在△ABC中，∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD，CE相交于點F，請你判別并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）在OM、ON上截取相同長度的線段，在OP上任取一點A，構(gòu)造全等三角形即可；
（2）由在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠OBC+∠OCB的值，然后在△OBC中，再利用三角形的內(nèi)角和定理，即可求得答案；
（3）通過證明△EAF≌△HAF（SAS），△FCH≌△FCD（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）作法：①以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線ON，OM于C，B兩點；
②在射線OP上任取一點A（O點除外）；
③連接AB，AC．
則所得△AOB≌△AOC．
作圖如下：


（2）已知：如圖，在△ABC中，OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的角平分線；求證：∠BOC=90°+

1

2

∠A．
證明：∵在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線；
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A；

（3）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系是EF=FD．理由如下：
在AC上截取AH=AE．
∵AD是∠EAC的平分線，
∴∠EAF=∠HAF．
在△EAF與△HAF中，
∵

AE=AH ∠EAF=∠HAF AF=AF

，
∴△EAF≌△HAF（SAS），
∴∠EFA=∠AFH，
∵∠B=60°．
∴由（2）得∠AFC=90°+

1

2

∠B=120°，
∴∠AFE=180°-∠AFC=60°=∠DFC．
∵∠EFA=∠AFH=60°，
∴∠HFC=180°-∠EFA-∠AFH=60°，
∴∠DFC=∠HFC．
∵CE是∠ACD的平分線，
∴∠FCH=∠FCD．
∵在△FCH與△FCD中，

∠FCH=∠FCD FC=FC ∠DFC=∠HFC

，
∴△FCH≌△FCD（ASA），
∴FD=FH．
∵△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，
∴EF=FD．

點評：本題考查的是熟練掌握尺規(guī)作圖的技巧和三角形全等的判定定理．同時考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．