4.如圖,在△ABC中,AD是△ABC的中線(xiàn),過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC與AB的平行線(xiàn)DE交于點(diǎn)E,DE與AC相交于點(diǎn)O,連接EC.
(1)求證:AD∥EC;
(2)當(dāng)△ABC滿(mǎn)足條件∠BAC=90°時(shí),四邊形ADCE是菱形,請(qǐng)補(bǔ)充條件并證明.

分析 (1)根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形ABDE是平行四邊形,進(jìn)而可得AE=DB,再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ADCE是平行四邊形,進(jìn)而可得AD∥EC;
(2)添加∠BAC=90°,根據(jù)直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得AD=$\frac{1}{2}$BC,然后證明AD=CD可得四邊形ADCE是菱形.

解答 證明:(1)∵AE∥BC,AB∥DE,
∴四邊形ABDE是平行四邊形,
∴AE=BD,
∵AD是△ABC的中線(xiàn),
∴BD=CD,
∴AE=DC,
∵AE∥BC,
∴四邊形ADCE是平行四邊形,
∴AD∥EC;

(2)添加∠BAC=90°,
∵AD是△ABC的中線(xiàn),
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC,
∵四邊形ADCE是平行四邊形,
∴四邊形ADCE是菱形.

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了菱形的判定,以及平行四邊形的判定和性質(zhì),關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

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