【題目】如圖,在△ABC中,P、Q分別是BC、AC上的點,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分別為R、S,若AQ=PQ,PR=PS,則結(jié)論:①PA平分∠RPS;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△CSP.其中正確的有( )

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

【答案】B

【解析】根據(jù)已知條件利用HL易證△APR≌△APS,再利用全等三角形的性質(zhì)可得∠PAR=∠PAS,AR=AS,從而可證(1)、(2)正確;由AQ=PQ,利用等邊對等角易得∠1=∠APQ,再利用三角形外角的性質(zhì)可得∠PQC=2∠1,而(1)中PA是∠BAC的角平分線可得∠BAC=2∠1,等量代換,從而有∠PQC=∠BAC,利用同位角相等兩直線平行可得QP∥AR,(3)正確;根據(jù)已知條件可知△BRP與△CSP只有一角、一邊對應(yīng)相等,故不能證明兩三角形全等,因此(4)不正確.
解:(1)PA平分∠BAC.∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,AP=AP,∴△APR≌△APS,∴∠PAR=∠PAS,∴PA平分∠BAC;

(2)由(1)中的全等也可得AS=AR;

(3)如圖所示

∵AQ=PR,∴∠1=∠APQ,∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1,又∵PA平分∠BAC,∴∠BAC=2∠1,∴∠PQS=∠BAC,∴PQ∥AR;

(4)∵PR⊥AB,PS⊥AC,∴∠BRP=∠CSP,∵PR=PS,∴△BRP不一定全等與△CSP(只具備一角一邊的兩三角形不一定全等).故選B.
“點睛“本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì);做題時利用了平行線的判定、等邊對等角、三角形外角的性質(zhì),要熟練掌握這些知識并能靈活應(yīng)用.

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時間x(天)

1x<50

50x90

售價(元/件)

x+40

90

每天銷量(件)

2002x

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