Question

【題目】如圖1，拋物線的頂點A的坐標為（1，4），拋物線與x軸相交于B，C兩點，與y軸交于點D（0，3）．

（1）求拋物線的表達式以及點B的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得DP+CP最小，如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

（3）點Q是線段BD上方拋物線上的一個動點．過點Q作x軸的垂線，交線段BD于點E，再過點Q作QF∥x軸交拋物線于點F，連結(jié)EF，請問是否存在點Q使△QEF為等腰直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；B的坐標是（3，0）；（2）存在，P的坐標是（1，2）；（3）存在，點Q的坐標為（2，3）或

【解析】

（1）根據(jù)頂點坐標，則設(shè)頂點式，代入點C的坐標即可求出拋物線的解析式；令y=0，求得x的值，從而得到點B的坐標；

（2）根據(jù)軸對稱的最短路徑問題，連接DB交對稱軸于P，此時PD+PB=PD+PC的值最小，先求E'F的解析式，它與對稱軸的交點就是所求的點G；

（3）設(shè)Q（n，﹣n2+2n+3），則E（n，﹣n+3），F（﹣n+2，﹣n2+2n+3），所以可以用的代數(shù)式表示QE和QF的長，由題意得QE＝QF即﹣n2+3n＝|2n﹣2|，即可求得符合題意的的值，從而求得點Q的坐標.

（1）∵拋物線的頂點A的坐標為（1，4），

∴設(shè)拋物線的表達式為：y＝a（x﹣1）2+4，

把（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）2+4，a＝﹣1，

∴拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

令y＝0，﹣（x﹣1）2+4＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，

∴B的坐標是（3，0），C的坐標是（﹣1，0）；

（2）存在，

如圖1，因為B，C關(guān)于對稱軸對稱，連接BD交對稱軸于P，此時DP+CP的值最小，

∵D（0，3），B（3，0），易得BD的解析式為：y＝﹣x+3，

當x＝1時，y＝﹣1+3＝2，

∴P的坐標是（1，2）；

（3）如圖2，存在點Q，使△QEF為等腰直角三角形，

設(shè)Q（n，﹣n2+2n+3），則E（n，﹣n+3），F（﹣n+2，﹣n2+2n+3），

∴QE＝（﹣n2+2n+3）﹣（﹣n+3）＝﹣n2+3n，QF＝|2n﹣2|，

∵QE⊥x軸、QF∥x軸，

∴∠EQF＝90°，

∴當QE＝QF時，△QEF為等腰直角三角形，即：﹣n2+3n＝|2n﹣2|，

①﹣n2+3n＝2n﹣2，即:,即：

解得：n1＝﹣1（不合題意，舍去），n2＝2，

則Q（2，3）；

②﹣n2+3n＝﹣2n+2，即：,

解得：n1＝＞3（不合題意，舍去），n2＝，

則Q（，）．

綜上，點Q的坐標為（2，3）或（，）